# Aequationum Quarundam Potestatis Tertiae, Quintae, Septimae, Nonae, & Superiorum, ad Infinitum Usque Pergendo, in Terminis Finitis, ad Instar Regularum pro Cubicis Quae Vocantur Cardani, Resolutio Analytica **Author(s):** Ab. de Moivre **Year:** 1706 **Journal:** Philosophical Transactions (1683-1775) **Volume:** 25 **Pages:** 5 pages **Identifier:** jstor-102700 **JSTOR URL:** --- quae erunt Aequationis datae Radices omnes reales; haec semper ad dextram erunt Radices affirmativae, illae vero ad sinistram Radices negativae. Demonstratio est manifesta ex praecedentibus, habita tantum ratione Parabolae per puncta B, C, c, x, x transiens. Nam positio F foco Parabolae, (cuius distantia à Vertice ait \( \frac{1}{2} ON \)) notum est quod lineae omnes ut FB + BQ, FC + CD, &c., eadem ubique conficiant summam. Atque ex principiis hic positis proclive erit Instrumentum haud inconcinnum & quantumvis accuratum fabricari, cujus beneficio hujusmodi Aequationum quarumcunque Radices nullo fere negotio inveniri possint, & praecipue oculis exhiberi. Hoc autem quilibet, si id Curae sit, variis modis pro ingenio suo efficere potest, & de his jam satis. --- III. Aequationum quarundam Potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, & superiorum, ad infinitum usque pergendo, in terminis finitis, ad instar Regularum pro Cubicis quae vocantur Cardani, Resolutio Analytica. Per Ab. De Moivre, R. S. S. Sit n Numerus quicunque, y quantitas incognita, sive Aequationis Radix quaesita, sitque a quantitas quævis omnino cognita, sive ut vocant Homogeneum Comparationis: Atque horum inter se relatio exprimatur per Aequationem \[ ny + \frac{nn - 1}{2 \times 3} ny^3 + \frac{nn - 1}{2 \times 3} \times \frac{nn - 9}{4 \times 5} ny^5 + \frac{nn - 1}{2 \times 3} \times \frac{nn - 9}{4 \times 5} \times \frac{nn - 25}{6 \times 7} ny^7, \text{ &c.} = a \] Ex Ex hujus seriei natura manifestum est, quod si in summatur numerus aliquis impar (integer scilicet, nec refert utrum sit affirmativus vel negativus) tunc series sponte sua terminabitur, & Æquatio fit una ex supra praesinitis, cujus Radix est \[ y = \frac{1}{2} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}} + aa + a} - \frac{1}{2} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}} + aa + a} \] vel (2) \( y = \frac{1}{2} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}} + aa + a} - \frac{1}{2} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}} + aa - a} \) vel (3) \( y = \frac{1}{2} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}} + aa - a} - \frac{1}{2} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}} + aa - a} \) vel (4) \( y = \frac{1}{2} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}} + aa - a} - \frac{1}{2} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}} + aa - a} \) Exempli gratia, sit hujus Æquationis potestatis quintae \( 5y + 20y^3 + 16y^5 = 4 \) Radix invenienda, quo in ca- fu erit \( n = 5 \) & \( a = 4 \). Radix juxta formam primam erit \( y = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{\sqrt{17}} + 4} - \frac{1}{2} \), qua in numeris vul- garibus expeditissime explicari potest ad hunc modum. Est \( \sqrt{17} + 4 = 8.1231 \), cujus Logarithmus \( o.9097164 \), & hujus pars quinta \( o.1819433 \), huic respondens numerus est \( 1.5203 = \sqrt{\frac{1}{\sqrt{17}} + 4} \). Ipsius vero \( o.1819433 \) Complementum Arithmeticum est \( 9.8180567 \), cui respondet numerus \( o.6577 = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{17}} + 4}} \). Igitur horum numero- rum semidifferentia \( o.4313 = y \). \[ \boxed{Q} \] Hic venit Observandum quod loco Radicis generalis, non incommodè sumeretur \( y = \frac{1}{2} \sqrt[2]{2a - \frac{1}{n}} \), si qua- do numerus a respectu unitatis, si satis magnus, ut si Æquatio fuerit \( 5y + 20y^3 + 16y^5 = 682 \), crit Log. \( 2a = 3.1348143 \), cujus pars quinta \( 0.6269628 \), & huic respondens numerus \( 4.236 \). Complementi autem Arith- metici \( 9.3730372 \) numerus est \( 0.236 \) & horum numero- rum semidifferentia \( 2 = y \). Atqui præterea, si in Æquatione praecedenti signa alter- natim sint affirmantia & negantia, vel quod eodem redit, si series obvenerit hujus modi \[ ny + \frac{1 - nn}{2 \times 3} ny^3 + \frac{1 - nn}{2 \times 3} \times \frac{9 - nn}{4 \times 5} ny^5 + \frac{1 - nn}{2 \times 3} \times \frac{9 - nn}{4 \times 5} \times \frac{25 - nn}{6 \times 7} ny^7, \&c. = a \] crit hujus Radix (1) \( y = \frac{1}{2} \sqrt[n]{a + \sqrt[n]{aa - 1}} + \frac{r}{2} \sqrt[n]{a + \sqrt[n]{aa - 1}} \) vel (2) \( y = \frac{1}{2} \sqrt[n]{a + \sqrt[n]{aa - 1}} + \frac{1}{2} \sqrt[n]{a - \sqrt[n]{aa - 1}} \) vel (3) \( y = \frac{1}{2} \sqrt[n]{a - \sqrt[n]{aa - 1}} + \frac{1}{2} \sqrt[n]{a - \sqrt[n]{aa - 1}} \) vel (4) \( y = \frac{1}{2} \sqrt[n]{a - \sqrt[n]{aa - 1}} + \frac{1}{2} \sqrt[n]{a + \sqrt[n]{aa - 1}} \) Hic autem Notandum, quod si \( \frac{n-1}{2} \) numerus extiterit impar, Radicis inventæ signum in ei contrarium permu- tandum est. Pro- Proponatur Aequatio $5y - 20y^3 + 16y^5 = 6$, unde $n = 5$ & $a = 6$. Erit Radix $= \frac{1}{2} \sqrt{6 + \sqrt{35}} + \frac{1}{2} \sqrt{6 - \sqrt{35}}$. Vei quoniam $6 + \sqrt{35} = 11.916$, erit hujus logarithmus $1.0761304$ & ejus pars quinta $0.2152561$, Complementum vero Arithmeticum $9.7847439$. Horum Logarithrorum numeri sunt $1.6415$ & $0.6091$ respective, quorum semisumma $1.1253 = y$. Verum si acciderit ut a sit minor unitate, tunc Radicis forma secunda, ut quae proposito est magis conveniens, praereliquis feligenda est. Sic si Aequatio fuerit $5y - 20y^3 + 16y^5 = \frac{61}{64}$, erit $y = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{61}{64}} + \sqrt{\frac{375}{4096}}$. Et quidem si Binomialium Radix quintana ullo pacto extrahi queat, prodibit Radix proba & possibilis, et si expressio ipsa impossibilitatem mentiatur. Binomialis vero $\frac{61}{64} + \sqrt{\frac{375}{4096}}$ Radix quintana est $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \sqrt{15}$, & Binomialis $\frac{61}{64} - \sqrt{\frac{375}{4096}}$ Radix itidem quintana est $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \sqrt{15}$, quorum Binomialium semifumma $= \frac{1}{4} = y$. Si autem extractio ista vel non peragi poscit, vel etiam difficilior videretur, res ubique consici potest per Tabulam sinuum naturalium ad modum sequentem. Ad Radium $1$ sit $a = \frac{61}{64} = 0.95112$ sinus arcus cujusdam, qui proinde erit $72^\circ : 23'$ cujus pars quinta (eo quod $n = 5$) est $14^\circ : 28'$; hujus sinus $0.24981 = \frac{1}{4}$ proxime. Nec secus procedendum in Aequationibus graduum superiorum: $14Q_2$ IV. S