{
  "id": "1fc1671dd635bf9ac181613f9742b993b6f0f0c5",
  "text": "II. Solutio Generalis Problematis XV. proposti à D. de Moivre, in tractatu de Mensura Sortis inserto Actis Philosophicis Anglicanis No 329. pro numero quocunque Collutorum: per D. Nicolaum Bernoulli, Basiliensem, Reg. Soc. Sodalem.\n\nCum Methodus synthetica, qua usus est D. de Moivre ad inveniendam cujusque Collutoris sortem, in usum verti nequeat tunc quando plures quam tres sunt collusores, ob vix perspicendi legem progressionis serierum quae se offerunt; ostendam hic quo modo Analysis in ejusmodi Problematibus, ubi depositum continuo augetur, adhiberi queat: eumque in finem demonstrationem dabo analyticam trium Theorematum, quae inveni, & quidem diu ante visum D. Moyurei libellum de Mensura Sortis, occasione triplicis quaestionis mihi ab amico circa ludum hunc, quem Galli vocant le Jeu de la Poule, propositae, pro inveniendis scil. probabilitate vincendi, lucro item vel damno cujusque Collutoris, & duratione certaminis.\n\nTHEOREMA I.\n\nSi Collusores aliquot A, B, C, D, E, &c. quorum numerus est \\( n + 1 \\) & dexteritates sunt æquales, deponant singuli 1, & istis conditionibus certent. 1°. Ut illorum duo A & B ludum incipient. 2°. Ut victus locum suum tertio C cedat, ita ut ille tertius C jam cum victore contendat, quique ex hoc certamine victor evaserit cum quarto D ludat, & ita deinceps. 3°. Ut ille depositum totum obtineat, qui omnes collusores successivè vicerit. Dico probabilitates vincendi duorum quorumlibet collutorum sese immediate in ordine ludendi sequentium esse in ratione \\( 1 + 2^n \\) ad \\( 2^n \\), adeoque expectationes luforum A (B), C, D, E, &c. esse in progressione Geometrica.\nDemonstratio.\n\nPonantur expectationes vincendi ipsius \\( A \\) vel \\( B = a \\), ipsius \\( C = c \\), ipsius \\( D = d \\), ipsius \\( E = e \\), &c. Porro cum accidere possit, ut collutor aliquis prima vice in ludum intrans inventat adversarium qui vel nondum, vel semel, vel bis, vel ter, &c. jam successive victor extitit, vocetur expectatio lusoris illius primo casu \\( z \\), secundo \\( y \\), tertio \\( x \\), quarto \\( u \\), quinto \\( t \\), &c. Item cum collutor aliquis vinci possit ab adversario qui antea jam vel nullum, vel unum, vel duos, vel tres, &c. collusores successive vicit, ita ut exiens è ludo relinquit adversarium qui vel semel, vel bis, vel ter, vel quater &c. victor extitit, vocetur expectatio seu probabilis vincendi ejus qui exit è ludo primo casu \\( h \\), secundo \\( k \\), tertio \\( l \\), quarto \\( m \\), &c. Hisce omnibus positis habebuntur sequentes novem series æquationum signatae N°. 1. N°. 2. N°. 3, &c. usque ad N°. 9. Tab. I. Ratio eas inveniendi breviter hæc est.\n\nInter æquationes N°. 1°. reperitur ex gr. \\( f = \\frac{1}{8} t + \\frac{1}{8} u + \\frac{1}{4} x \\)\n\n\\[\n+ \\frac{1}{2} y. \\text{ Nam collutor } F \\text{ certabit vel cum collusore } A, \\text{ vel } B, \\text{ vel } C, \\text{ vel } D, \\text{ vel } E : \\text{ ut primum vel secundum contingat, oportet ut vel } A \\text{ vel } B \\text{ quater successive victor existat, cujus eventus probabilis est } \\frac{2}{16} \\text{ seu } \\frac{1}{8} : \\text{ Ut tertium contingat oportet ut } C \\text{ ter victor existat, cujus eventus probabilis est etiam } \\frac{1}{8} : \\text{ Ut quartum contingat oportet ut } D \\text{ bis successive vincat, quod probabilitatem habet } \\frac{1}{4} ; \\text{ Ut quintum contingat, oportet ut } E \\text{ semel vincat, cujus eventus probabilis est } \\frac{1}{2} ;\n\\]\n\nergo\nergo lusoris $F$ probabilis vincendi est $= \\frac{1}{8} t + \\frac{1}{8} x + \\frac{1}{4} x$\n$+ \\frac{1}{2} y$. Sic inter æquationes No. 2. est, ex gr. $x = \\frac{1}{2}$\n$+ \\frac{1}{4} + \\frac{1}{8} + \\frac{1}{16} + \\cdots \\frac{1}{2^n} \\times b + \\frac{1}{2^n} \\times 1$. Collusor enim\nqui certat cum adversario qui jam bis successivo victor extitit,\nvincere potest vel omnes collusores, vel aliquos, vel nullum.\n\nPrioris eventus probabilis est $\\frac{1}{2^n}$, secundi $\\frac{1}{4} + \\frac{1}{8} + \\frac{1}{16} + \\cdots \\frac{1}{2^n}$,\n& tertii $\\frac{1}{2}$; si primus eventus contingat, probabilis\nvincendi evadit certitudine integra seu 1; si secundus, exit è ludo\nrelinquens collusorem qui semel vicit; si tertius, exit è ludo\nrelinquens collusorem qui ter successivo vicit; adeoque\nsors ejus totalis est $\\frac{1}{2} \\times 1 + \\frac{1}{4} + \\frac{1}{8} + \\frac{1}{16} + \\cdots \\frac{1}{2^n} \\times b + \\frac{1}{2^n} \\times 1$.\n\nSimili ratiocinio inveniuntur æquationes No. 3. Collusor enim qui victus ab adversario exit è ludo, relinquentis ex gr.\ncollusorem unius tantum ludi victorem, acquirit fortissimam vel\nipsius $C$, vel ipsius $D$, vel ipsius $E$, vel ipsius $F$, &c. prout\nadversarius à quo victus est vincit vel omnes collusores praeter\nunum, vel omnes praeter duos, vel omnes praeter tres, &c.\n\nunde sequitur quod $b = \\frac{1}{2^{n-1}} \\times c + \\frac{1}{2^{n-2}} \\times d + \\frac{1}{2^{n-3}} \\times e + \\frac{1}{2^{n-4}} \\times f + &c.$\n\nÆquationes No. 4. inveniuntur subtrahendo æquationes No. 2. ab invicem: & æquationes No. 5. subtrahendo\næquationes No. 3. ab invicem. Æquationes No. 6. inveniuntur substituendo in æquationibus No. 4. valores inventos\nper æquationes No. 5. Æquationes No. 7. inveniuntur quarendo valores ipsarum $z, y, x, u, &c.$ per æquationes No. 1.\nEt his valoribus substitutis in æquationibus No. 4. habebuntur\næquationes No. 8, quae comparatae cum æquationibus No. 6.\ndant æquationes N°. 9. ex quibus sequitur quod \\(1 + 2^n \\cdot 2^n : 1\\)\n:: \\(a : c :: c : d :: d : e\\), &c. Q.E.D.\n\nCorollarium.\n\nHinc faciē inveniuntur probabilitates vincendi singulorum Collusorum, quas habent tum ante ludum inceptum, tum in quolibet statu in quem ludum prosequendo pervenire possunt. Si sint, ex gr. tres collusores \\(A, B, C\\), erit \\(n = 2\\), & \\(1 + 2^n : 2^n :: 5 : 4 :: a : c\\) id est, probabilitates vincendi ipsorum \\(A, B, C\\), antequam \\(A\\) vicerit \\(B\\), vel \\(B\\) vicerit \\(A\\), se habent ut numeri\n\\(5, 5, 4\\), adeoque ipsæ probabilitates sunt \\(\\frac{5}{14}, \\frac{5}{14}, \\frac{4}{14}\\); omnes enim simul sumptae facere debent \\(r\\) seu certitudinem integram. Postquam \\(A\\) vicerit \\(B\\), probabilitates vincendi ipsorum \\(B, C, A\\), erunt \\(b, y\\) seu \\(c\\), & (quia \\(A\\) æqualem habet expectationem ad victoriam, & ad sortem ipsius \\(B\\) obtinendam) \\(\\frac{1 + b}{2}\\) respectivè,\nhoc est, quia per æq. r. N°. 3. \\(b = \\frac{1}{2^{n-1}} \\times c = \\frac{1}{2} c, & c = \\frac{4}{14} = \\frac{2}{7}\\) ut modo inventum, haæ probabilitates erunt \\(\\frac{1}{7}, \\frac{2}{7}, \\frac{4}{7}\\), ut\nD. de Moivre invenit Coroll. i. Prop. r 5. pag. 242.\n\nSi sint quattuor collusores \\(A, B, C, D\\), erit \\(n = 3\\), & \\(1 + 2^n : 2^n :: 9, 8\\), adeoque probabilitates collusorum ab initio ludi erunt ut \\(9, 9, 8, \\frac{8 \\times 8}{9}\\), sive ut \\(81, 81, 72, 64\\), hoc est, ipsæ \\(a, a, c, d\\), erunt \\(\\frac{81}{298}, \\frac{81}{298}, \\frac{72}{298} & \\frac{64}{298}\\). Postquam \\(A\\) vicerit \\(B\\), probabilitates ipsorum \\(B, D, C, A\\), erunt \\(b, d, c, \\frac{1 + 3b}{4}\\), est autem per æq. r. N°. 3. \\(b = \\frac{1}{2^{n-1}} \\times c + \\frac{1}{2^{n-2}} \\times d = \\frac{1}{4} c + \\frac{1}{2} d\\),\n\\[ e = \\frac{72}{298} = \\frac{36}{149}, \\quad \\& \\quad d = \\frac{64}{298} = \\frac{32}{149}, \\text{ut modo inventum:} \\]\n\nergo hæ probabilitates erunt \\( \\frac{25}{149}, \\frac{32}{149}, \\frac{36}{149}, \\frac{56}{149} \\) respective.\n\nPostquam \\( A \\) vicerit \\( B \\& C \\), probabilitates vincendi ipsorum \\( C, B, D, A \\), erunt \\( k, \\frac{c}{2}, x, \\frac{1 + b}{2} \\), seu (quia per æq. 2 N°. 3:\n\n\\[ k = \\frac{1}{2^{n+2}} \\times d = \\frac{1}{2} d, \\quad \\& \\quad \\text{per æq. 3. N°. 7. } x = 2d - c \\frac{16}{149}, \\frac{18}{149} \\]\n\n\\( \\frac{28}{149}, \\frac{87}{149} \\). Et nota quod calculi bonitas confirmetur ex eo,\n\nquod summæ harum probabilitatum, hoc est, \\( \\frac{1}{7} + \\frac{2}{7} + \\frac{4}{7} \\) in priori exemplo, \\( \\& \\frac{25}{149} + \\frac{32}{149} + \\frac{36}{149} + \\frac{56}{149} \\), nec non \\( \\frac{16}{149} + \\frac{18}{149} + \\frac{28}{149} + \\frac{87}{149} \\) in posteriori exemplo, singulæ sint \\( = 1 \\) seu certitudini integræ.\n\n**THEOREMA II.**\n\nPositis quæ prius & insuper hac conditione, ut victus semper multetetur summa \\( p \\), quæ deposito augendo inserviat; quod depositum sic gradatim auctum illi soli cedat, qui omnium successivi collutorum victor extiterit; denotatis etiam ut antea per literas minusculas \\( a, c, d, e, \\&c. \\) probabilitatibus vincendi ipsorum \\( A \\) (vel \\( B \\)), \\( C, D, E, \\&c. \\) respective: per eadem vero literas majusculas \\( A, C, D, E, \\&c. \\) ipsorum \\( A \\) (vel \\( B \\)), \\( C, D, E, \\&c. \\) expectationibus, hoc est, portionibus depositi quas singuli expectant: Dico, fore semper \\( C = \\frac{A + ap \\times 2^n - nc}{1 + 2^n} \\)\n\n\\[ x \\quad D = \\]\n\\[ D = \\frac{C + cp \\times 2^n - ndp}{1 + 2^n}, \\quad E = \\frac{D + dp \\times 2^n - necp}{1 + 2^n}, \\quad \\text{&c.} \\]\n\n**Demonstratio.**\n\nDenotetur ut prius per literas minusculas \\( z, y, x, u, t, \\) &c. probabilitas vincendi ludentis cum adversario, qui jam vel nullum, vel unum, vel duos, &c. collusores successively vicit; per easdem vero literas majusculas \\( Z, T, X, U, T, \\) &c. ejus expectatio, quam scil. habet diversis illis casibus, deposito existente \\( n + 1, n + 1 + p, n + 1 + 2p, n + 1 + 3p, \\) &c. respectivè. Sic etiam per literas minusculas \\( h, k, l, m, \\) &c. denotetur probabilitas vincendi lusoris victi ab adversario, qui antea vel nullum, vel unum, vel duos, &c. collusores successively vicerat; quemadmodum per literas majusculas \\( H, K, L, M, \\) &c. ejusdem expectatio diversis illis casibus, deposito existente \\( n + 1 + p, n + 1 + 2p, n + 1 + 3p, \\) &c. respectivè. His positis iisdem quibus antea ratiociniis inveniuntur sequentes duodecim æquationum series in Tab. II. signatae N°. 1. N°. 2. N°. 3, &c. Inter æquationes N°. 1. ex. gr. est \\( E = \\frac{U}{4} + \\frac{X + xp}{4} + \\frac{T + 2yp}{2}. \\)\n\nLusor enim \\( E \\) ludet vel cum lusore \\( A, \\) vel lusore \\( B, \\) vel \\( C, \\) vel \\( D. \\) Si ludit cum \\( A \\) vel \\( B, \\) expectatio ejus erit \\( = U, \\) quia ludit cum adversario qui jam tres adversarios vicit, deposito existente \\( n + 1 + 3p. \\) Si ludit cum lusore \\( C, \\) expectatio ejus erit \\( = X + xp, \\) ludit enim cum adversario qui jam duos collusores vicit, adeoque si depositum esset \\( n + 1 + 2p \\) ejus, expectatio esset \\( = X: \\) verum quia ludente \\( E \\) depositum est \\( = n + 1 + 3p, \\) ob tres collusores victos & summa \\( p \\) multatos, addenda est expectationi \\( X \\) portio illa multæ unius \\( p, \\) quam lusor \\( E \\) (perare potest: est autem hæc portio (quia probabilitas ejus vincendi est \\( x)) = xp, \\) ejus igitur expectatio totalis tunc erit \\( = X + xp. \\) Sic si ludit cum lusore \\( D, \\) expectatio ejus erit \\( = T + 2yp : \\) additur ad \\( T \\) (quæ esset ejus expectatio deposito existente \\( n + 1 + p)) \\) portio \\( 2yp, \\) quæ ipsi debetur de duabus multatis.\nmultis \\(2p\\), quibus depositum \\(n + 1 + 3p\\) majus est quam \\(n + 1 + p\\). Simili modo habentur æquationes N°. 2, 3, 4, & 5. Substituendo autem primam æquationem N°. 2. Tab. I. in æquationibus N°. 4, habentur æquationes N°. 6. Et substituendo primam æquationem N°. 3. Tab. I. in æquationibus N°. 5, habentur æquationes N°. 7. quibus dein in æquationibus No 6. substitutis habentur æquationes No. 8. Æquationes N° 9. inveniuntur quærendo valores ipsarum \\(Z, T, X, U, \\&c.\\) per æquationes N°. 1. Tab. I. & II. vel N° 2. Tab II. & N°. 7. Tab. I. Et his valorigibus substitutis in æquationibus N°. 4. habentur æquationes N°. 10. Quæ comparatæ cum æquationibus N°. 8 (in quibus pro \\(z\\) substituatur \\(a\\), per I. æq. Tab. I.) dant æquationes N°. 11. Et hæ æquationes N°. 11. comparatæ cum æquationibus N°. 9. Tab. I. dant æquationes N°. 12, quæ constituunt Theorema, quod demonstrandum erat.\n\nCorollarium.\n\nHinc quoque facile inveniuntur singulorum Collusorum sortes seu expectationes, ipsorumque adeo lucra vel damna.\n\nSint ex gr. tres collusores \\(A, B, C\\): erit \\(C = \\frac{A + ap \\times 2^n - nc}{1 + 2^n}\\).\n\n\\(= (ob n = 2) \\frac{4A + 4ap - 2cp}{5} = (ob a = \\frac{5}{14} \\& c = \\frac{2}{7}\\)\n\nper coroll. Theor. I.) \\(\\frac{4A + \\frac{5}{7}p}{5}\\). Unde cum omnium trium\n\nexpectationes simul sumptæ, id est, \\(A + A + C\\) æquare debent id quod ab initio depositum fuit, id est 3, erit \\(2A + \\frac{4A + \\frac{5}{7}p}{5} = \\frac{14A + \\frac{5}{7}p}{5} = 3, \\& 14A = 15 - \\frac{5}{7}p, \\&\\)\n\n\\(A = \\frac{15}{14} - \\frac{3}{49}p =\\) expectationi lusoris \\(A\\) vel \\(B\\): proinde \\(C\\)\n\nexpectatio lusoris tertii \\(C = \\frac{4A + \\frac{5}{7}p}{5} = \\frac{6}{7} + \\frac{6}{42}p\\). A qui-\n\nbus\nbus expectationibus si subtrahatur 1, id quod ab initio singuli deposuerunt, remanet ibi $\\frac{1}{14} - \\frac{3}{49} p$, hic $\\frac{6}{49} p - \\frac{1}{7}$; quemadmodum D. de Moivre invenit. Exempl. 2. Sint collusores $A, B, C, D$, crit $C = \\frac{A + ap \\times 2^n - nc p}{1 + 2^n} = (ob n = 3)$\n\n$\\frac{8A + 8ap - 3cp}{9} = (ob a = \\frac{81}{298} & c = \\frac{36}{149})$, per coroll.\n\nTheor. 1.) $\\frac{8A + \\frac{36}{149} p}{9}$; item $D = \\frac{C + cp \\times 2^n - ndp}{1 + 2^n} =$\n\n$\\frac{8C + 8cp - 3dp}{9} = (ob d = \\frac{32}{149} \\text{perid. corr.}) \\frac{8C + \\frac{102}{149} p}{9} =$\n\n$\\frac{64A + \\frac{3456}{149} p}{81}$: unde habebitur æquatio $2A + C + D = 2A +$\n\n$\\frac{8A + \\frac{315}{149} p}{9} + \\frac{64A + \\frac{3456}{149} p}{9} = \\frac{298A + \\frac{102}{149} p}{81} = 4$, sive $149A$\n\n$+ \\frac{2700}{149} p = 162, & A = \\frac{162}{149} - \\frac{2700}{22201} p$. Hinc $C =$\n\n$\\frac{8A + \\frac{315}{149} p}{9} = \\frac{144}{149} + \\frac{1176}{22201} p$, & $D = \\frac{64A + \\frac{3456}{149} p}{81} = \\frac{128}{149}$\n\n$+ \\frac{4224}{22201} p$. Subtracta autem unitate 1, quam singuli ab initio ludi deposuerunt, remanet $\\frac{13}{149} - \\frac{2700}{22201} p$ pro lusore\n\n$A vel B, \\frac{1176}{22201} p - \\frac{5}{149} pro C, & \\frac{4224}{22201} p - \\frac{21}{149} pro D$;\n\nquæ singula indigitabunt lucrum vel damnum, prout pars affirmata præpollet negatæ, vel contra. Simili ratione habebuntur etiam fortæ quas acquirunt in quolibet statu in quem ludum prosequendo pervenire possunt.\n\nTHEO.\nTHEOREMA 3.\n\nPositis quae prius, si adsint spectatores Q, R, S, T, U, &c. quorum numerus sit n unitate minor quam numerus collusorum, quorumque prior Q affirmet certamen finitum iri post n + p ludos peractos, R post n + p - 1, S post n + p - 2, T post n + p - 3, U post n + p - 4, &c. præcise, non antea; sintque q, r, s, t, u, &c. fortis ipsorum Q, R, S, T, U, &c. Diro fore q = \\frac{1}{2} r + \\frac{1}{4} s + \\frac{1}{8} t + \\frac{1}{16} u + &c.\n\nDemonstratio.\n\nVocetur A collusor ille, qui post n + p ludos vincere supponitur: hic intrare debet in ludum post p ludos peractos, & tum ludet contra adversarium, qui jam vel unum vel duos, vel tres, &c. collusores successively vicit. Jam cum, ut primus casus contingat, & ut collusor A omnes suos collusores praeter unum, id est, n - 1 collusores successively vincat, æque probabile sit quam ut adversarius ejus vincat n - 1 collusores, id est, (quia jam unius collusoris victor fuit) ut certamen finiat post n + p - 1 ludos peractos; hujusque eventus probabilitas sit = r: erit probabilitas ut collusor A unum adhuc collusorem vincat, id est, certamen finiat post n + p ludos = \\frac{1}{2} r. Sic, ut secundus; casus existat, & ut A omnes collusores praeter duos vincat, æquè probabile est quam ut certamen finiatur post n + p - 2 ludos, adeoque ut tunc A vincat adhuc duos collusores, id est, ut certamen finiat post n + p ludos, probabilitas erit = \\frac{1}{4} s.\n\nEodem modo ut, tertio casu existente, A vincat omnes collusores, probabilitas est = \\frac{1}{8} t; ut quarto = \\frac{1}{16} u, &c. Quare ut\nindifferenter certamen finiatur post \\( n + p \\) ludos, probabilitas est\n\n\\[\n\\frac{1}{2} r + \\frac{1}{4} s + \\frac{1}{8} t + \\frac{1}{16} u + \\&c. = q.\n\\]\n\nCorollarium 1.\n\nFacile hinc invenitur quænam sit probabilitas ut certamen finiatur intra datum quemvis ludorum numerum. Series enim fractionum incipientium à fractione \\( \\frac{1}{2^n-1} \\), quarum denominatores crescant in continua proportione dupla, numerator autem cujusque fractionis sit summa numeratorum tot fractionum immediate praecedentium quot sunt unitates in \\( n - 1 \\), dabit omnes successive probabilitates, ut certamen finiatur peractis præcise \\( n, n + 1, n + 2, n + 3 &c. \\) ludis: & per consequens si addantur tot termini hujus seriei quot sunt unitates in \\( p + 1 \\), summa ipsorum exprimet probabilitatem ut certamen finiatur ad minimum ludis \\( n + p \\) peractis. Ex. gr. Si sint collusores 4, adeoque \\( n = 3 \\), habebitur hæc series\n\n\\[\n\\frac{1}{4}, \\frac{1}{8}, \\frac{2}{16}, \\frac{3}{32}, \\frac{5}{64}, \\frac{8}{128}, \\frac{13}{256}, \\frac{21}{512} &c.\n\\]\n\nE qua si fiat alia\n\n\\[\n\\frac{1}{4}, \\frac{3}{8}, \\frac{8}{16}, \\frac{19}{32}, \\frac{43}{64}, \\frac{94}{128}, \\frac{201}{256}, \\&c.\n\\]\n\ncujus termini sint summæ terminorum praecedentis seriei, denotabunt iidem termini qualis sit probabilitas ut certamen finiatur ad minimum 3, 4, 5, 6, &c. ludis.\n\nCorollarium 2.\n\nPorest terminus quicunque prioris seriei (excepto primo termino,) ut & summa omnium terminorum, id est, terminus quicunque posterioris seriei, per formulam generalem exprimi hoc modo. Si \\( n + 1 \\) sit numerus collusorum, & \\( p \\) sit numerus terminorum, erit ultimus terminus prioris seriei\n\n\\[\n\\frac{1}{2^n}\n\\]\n\\[\n\\frac{1}{2^n} \\left( p - n + 1 \\right) + \\frac{p - 2n \\times p - 2n + 3}{1 \\times 2 \\times 2^{3n}} \\\\\n+ \\frac{p - 3n \\times p - 3n + 1 \\times p - 3n + 5}{1 \\times 2 \\times 3 \\times 2^{4n}} \\\\\n+ \\frac{p - 4n \\times p - 4n + 1 \\times p - 4n + 2 \\times p - 4n + 7}{1 \\times 2 \\times 3 \\times 4 \\times 2^{5n}}, \\text{etc.}\n\\]\n\nsumma omnium terminorum sive ultimus terminus posterioris seriei\n\n\\[\n= \\frac{p + 1}{1 \\times 2^n} - \\frac{p - n \\times p - n + 3}{1 \\times 2 \\times 2^{2n}} + \\frac{p - 2n \\times p - 2n + 1 \\times p - 2n + 5}{1 \\times 2 \\times 3 \\times 2^{3n}} \\\\\n- \\frac{p - 3n \\times p - 3n + 1 \\times p - 3n + 2 \\times p - 3n + 7}{1 \\times 2 \\times 3 \\times 4 \\times 2^{4n}} + \\text{etc.}\n\\]\n\nTabula I.\n\n| Intrat | Exit. | N°. 1 |\n|--------|-------|------|\n| Sors   | Sors  | \\(a = x\\) |\n| 0      | z     | \\(b = y\\) |\n| 1      | y     | \\(c = \\frac{1}{2} x + \\frac{1}{2} y\\) |\n| 2      | x     | \\(d = \\frac{1}{4} u + \\frac{1}{4} x + \\frac{1}{2} y\\) |\n| 3      | u     | \\(e = \\frac{1}{8} t + \\frac{1}{8} u + \\frac{1}{4} x + \\frac{1}{2} y\\) |\n\nN°. 2.\n\n\\[\nz = \\frac{1}{2} + \\frac{1}{4} + \\frac{1}{8} + \\frac{1}{16} + \\ldots \\frac{1}{2^n} \\times b + \\frac{1}{2^n} \\times 1\n\\]\n\n\\[\ny = \\frac{1}{2} k + \\frac{1}{4} + \\frac{1}{8} + \\frac{1}{16} + \\ldots \\frac{1}{2^n} \\times b + \\frac{1}{2^n} \\times 1.\n\\]\n\n\\[\nx = \\frac{1}{2} l + \\frac{1}{4} + \\frac{1}{8} + \\frac{1}{16} + \\ldots \\frac{1}{2^n} \\times b + \\frac{1}{2^n} \\times 1.\n\\]\n\n\\[\nu = \\frac{1}{2} m + \\frac{1}{4} + \\frac{1}{8} + \\frac{1}{16} + \\ldots \\frac{1}{2^n} \\times b + \\frac{1}{2^n} \\times 1.\n\\]\n\nNo. 3.\nN°. 3.\n\n\\[ b = \\frac{1}{2^{n-1}} \\times c + \\frac{1}{2^{n-2}} \\times d + \\frac{1}{2^{n-3}} \\times e + \\frac{1}{2^{n-4}} \\times f + \\cdots \\]\n\n\\[ k = \\frac{1}{2^{n-2}} \\times d + \\frac{1}{2^{n-3}} \\times e + \\frac{1}{2^{n-4}} \\times f + \\cdots \\]\n\n\\[ l = \\frac{1}{2^{n-3}} \\times e + \\frac{1}{2^{n-4}} \\times f + \\cdots \\]\n\n\\[ m = \\frac{1}{2^{n-4}} \\times f + \\cdots \\]\n\nN°. 4.\n\n\\[ z - y = \\frac{1}{2} b - \\frac{1}{2} k = \\frac{1}{2^n} \\times c = a - c \\]\n\n\\[ y - x = \\frac{1}{2} k - \\frac{1}{2} l = \\frac{1}{2^{n-1}} \\times d = 2c - 2d \\]\n\n\\[ x - u = \\frac{1}{2} l - \\frac{1}{2} m = \\frac{1}{2^{n-2}} \\times e = 4d - 4e \\]\n\nN°. 5.\n\n\\[ h - k = \\frac{1}{2^{n-1}} \\times c \\]\n\n\\[ k - l = \\frac{1}{2^{n-2}} \\times d \\]\n\n\\[ l - m = \\frac{1}{2^{n-3}} \\times e \\]\n\nN°. 6.\n\n\\[ z = a \\]\n\n\\[ y = c \\]\n\n\\[ x = 2d - y = 2d - c \\]\n\n\\[ u = 4e - x - 2y = 4e - 2d - e \\]\n\nN°. 7.\n\n\\[ c = a \\times \\frac{2^n}{1 + 2^n} \\]\n\n\\[ d = c \\times \\frac{2^n}{1 + 2^n} \\]\n\n\\[ e = d \\times \\frac{2^n}{1 + 2^n} \\]\n\nCorollarium 3.\n\nPotest quis priusquam ludus inchoetur in se suscipere, ut summam \\( n + 1 \\) de qua collusores contendunt, & multas omnes pendat, si sibi initio in manus datum sit \\( n + 1 + 2^n - 1 \\times p \\).\n\nDemonstrationem duorum praecedentium corollariorum curiosis indagandam relinquó.",
  "source": "olmocr",
  "added": "2026-01-12",
  "created": "2026-01-12",
  "metadata": {
    "Source-File": "/home/jic823/projects/def-jic823/royalsociety/pdfs/103045.pdf",
    "olmocr-version": "0.3.4",
    "pdf-total-pages": 13,
    "total-input-tokens": 20476,
    "total-output-tokens": 8854,
    "total-fallback-pages": 0
  },
  "attributes": {
    "pdf_page_numbers": [
      [
        0,
        0,
        1
      ],
      [
        0,
        1619,
        2
      ],
      [
        1619,
        3401,
        3
      ],
      [
        3401,
        5314,
        4
      ],
      [
        5314,
        7042,
        5
      ],
      [
        7042,
        8664,
        6
      ],
      [
        8664,
        10815,
        7
      ],
      [
        10815,
        12511,
        8
      ],
      [
        12511,
        14021,
        9
      ],
      [
        14021,
        15580,
        10
      ],
      [
        15580,
        17250,
        11
      ],
      [
        17250,
        18822,
        12
      ],
      [
        18822,
        20099,
        13
      ]
    ],
    "primary_language": [
      "en",
      "la",
      "la",
      "la",
      "la",
      "la",
      "la",
      "la",
      "la",
      "la",
      "la",
      "la",
      "la"
    ],
    "is_rotation_valid": [
      true,
      true,
      true,
      true,
      true,
      true,
      true,
      true,
      true,
      true,
      true,
      true,
      true
    ],
    "rotation_correction": [
      0,
      0,
      0,
      0,
      0,
      0,
      0,
      0,
      0,
      0,
      0,
      0,
      0
    ],
    "is_table": [
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false
    ],
    "is_diagram": [
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false,
      false
    ]
  },
  "jstor_metadata": {
    "identifier": "jstor-103045",
    "title": "Solutio Generalis Problematis XV. Propositi à D. de Moivre, in tractatu de Mensura Sortis inserto Actis Philosophicis Anglicanis No 329. Pro Numero Quocunque Collusorum: per D. Nicolaum Bernoulli, Basiliensem, Reg. Soc. Sodalem",
    "authors": "D. Nicolaum Bernoulli",
    "year": 1714,
    "volume": "29",
    "journal": "Philosophical Transactions (1683-1775)",
    "page_count": 13,
    "jstor_url": "https://www.jstor.org/stable/103045"
  }
}